Inecuaciones:
En matemáticas, una inecuación es una expresión referida al tamaño u orden relativo de dos objetos (ver también ecuación). La notación a < b significa que a es menor queb y la notación a > b quiere decir que a es mayor que b. Estas relaciones son conocidas con el nombre de inecuaciones estrictas, contrastando con a ≤ b (a es menor o igual a b) y a ≥ b (a es mayor o igual que b), llamadas inecuaciones no estrictas.
Si el signo comparativo de la inecuación es el mismo para cualquier valor que tomen las variables por las que está definida, entonces se hablará de una inecuación "absoluta" o "incondicional" (véase identidad).
Si por el contrario, el signo comparativo es el mismo sólo para ciertos valores de las variables, pero se invierte o cambia para otros valores, será una inecuación "condicional".
El signo comparativo de una inecuación no se cambia si a ambos miembros se les suma o resta el mismo número real, o si se les multiplica o divide por un número positivo; en cambio, se invierte si a ambos miembros se les multiplica o divide por un número negativo.
Inecuaciones con valor absoluto
En matemática, el valor absoluto o módulo1 de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3.
El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones,anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
valor absoluto con numero real
Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real 
está definido por:2 ejemplos básicos:
está definido por:2 ejemplos básicos:
Note que, por definición, el valor absoluto de siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo.
siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo.Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real es siempre positivo o cero, pero nunca negativo. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto de la diferencia, a la distancia a lo largo de la recta numérica realPropiedades fundamentales
es siempre positivo o cero, pero nunca negativo. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto de la diferencia, a la distancia a lo largo de la recta numérica realPropiedades fundamentales[
No negatividad Definición positiva Propiedad multiplicativa Desigualdad triangular (Véase también Propiedad aditiva)
]Otras propiedades
Simetría Identidad de indiscernibles Desigualdad triangular (equivalente a la propiedad aditiva) Preservación de la división (equivalente a la propiedad multiplicativa)
Otras dos útiles inecuaciones son:
Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de inecuaciones, como por ejemplo:
Como los números complejos no conforman un conjunto ordenado en el sentido de los reales, la generalización del concepto no es directa, sino que requiere de la siguiente identidad, que proporciona una definición alternativa y equivalente para el valor absoluto:
De esta manera, dado cualquier número complejo de la forma
con x e y números reales, el valor absoluto o módulo de z está definido formalmente por:
Como los números complejos son una generalización de los números reales, es lógico que podamos representar a estos últimos también de esta forma:
De modo similar a la interpretación geométrica del valor absoluto para los números reales, se desprende del Teorema de Pitágoras que el valor absoluto de un número complejo corresponde a la distancia en el plano complejo de ese número hasta el origen, y más en general, que el valor absoluto de la diferencia de dos números complejos es igual a la distancia entre ellos.
Inecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│> c
¿Qué significa │x│> 2 ? Significa que x es un número mayor que 2 unidades desde cero en la recta numérica. Esto ocurre cuando x estáa la izquierda de -2 en la recta numérica, esto es, cuando x < -2. También ocurre cuando x está a la derecha de 2 en la recta numérica,esto es, cuando x > 2. Dibuja la recta numérica en le espacio provisto para que puedas visualizarlo.
De manera que la solución de │x│> 2 es x < -2 ó x > 2.
Propiedad: Si a es un número real positivo y │x│> a, entonces x < -a ó x > a.
Propiedades de la funcion valor absoluto
funcion valor absoluto:
- definición:
f(x) = |x|
En la cual se separa el dominio en 2 tramos:
f(x) =
-x si x < 0
x si x >= 0
- dominio y rango
dom: x € IR
rango: y >= 0
- gráfica
Para x < 0: Es una recta de pendiente -1, e intersección con el eje "y" en el punto (0,0), pero como en este caso x < 0, la pendiente se acerca a ese punto pero no llega a el
Para x > 0: Es una recta de pendiente 1 e intersección con el eje "y" en el punto (0 , 0)
funcion definida por tramos:
- definicion: Es aquella función en que el dominio se divide en subconjuntos, y para cada uno de estos subconjuntos se define una función distinta. Un ejemplo de función por tramos es la función "valor absoluto"
- dominio y rango:
El dominio depende de la función, aunque suelen ser todos los reales
El rango depende de la funcón
- grafica:
Depende de la función, pero debes tener cuidado. Por ejemplo, si la función es
f(x) =
g(x) si x =< a
h(x) si x > a
Entonces dibujas la gráfica de g(x) como lo harias normalmente, partiendo del menos infinito (desde la izuierda), pero la terminas en el punto "a", x = a pertenece a la gráfica de g(x) ya que se tiene el signo menor o igual (dibuja este punto con un circulo pintado). En tanto, graficas h(x) a partir de "a", pero sin graficando ese punto como un círuclo en blaco, puesto que para h(x) se tiene el signo mayor, y sigues graficando hacia la derecha (el infinito positivo)
funcion partes enteras o mayor entera:
- definicion:
f(x) = min{k € Z/ / x <= k}
En palabras eso se lee como el mínimo valor de un número "k" perteneciente a los enteros tal que "x" sea menor igual que "k"
- dominio y rango:
dom: x € IR
rec: f(x) € Z/
- grafica: es una función de infinitos tramos, cada 1 entre 2 enteros k1 y k2 consecutivos:
k1 < x <= k2
En cada tramo f(x) = k2, entonces en cada tramo se tiene una recta horizontal, que es abierta por la izuiqerda (circulo blanco) y cerrada por la derecha (símbolo sin pintar)
Como k2 -k1 = 1, entonces entre cada tramos de la gráfica hay una distancia vertical de 1 unidad
INECUACIONES CUADRATICAS
La inecuación cuadrática
x2 − 6x + 8 > 0
La resolveremos aplicando los siguientes pasos
1ºIgualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.
1ºIgualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.
x2 − 6x + 8 = 0
2º Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:
P(0) = 02 − 6 · 0 + 8 > 0
P(3) = 32 − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0
P(5) = 52 − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0
3º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio.
S = (-∞, 2) 
(4, ∞)
(4, ∞)x2 + 2x +1 ≥ 0
x2 + 2x +1 = 0
(x + 1)2 ≥ 0
Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es 
| Solución | ||
|---|---|---|
| x2 + 2x +1 ≥ 0 | (x + 1)2 ≥ 0 | |
| x2 + 2x +1 > 0 | (x + 1)2 > 0 |  |
| x2 + 2x +1 ≤ 0 | (x + 1)2 ≤ 0 | x = − 1 |
| x2 + 2x +1 < 0 | (x + 1)2 < 0 |  |
x2 + x +1 > 0
x2 + x +1 = 0
Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio cualquier valor si:
El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es .
.El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución.
| Solución | |
|---|---|
| x2 + x +1 ≥ 0 | |
| x2 + x +1 > 0 | |
| x2 + x +1 ≤ 0 | |
| x2 + x +1 < 0 | |
INECUACIONES CON COEFICIENTES IRACIONALES:
Una inecuación con coeficientes irracionales es una expresión matemática la cual se caracteriza por tener los signos de desigualdad. Siendo una expresión algebraica nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente puede tomar el valor cualesquiera de ese conjunto cumpliendo esta desigualdad. A este conjunto se le conoce como Intervalo.
En matemáticas, una inecuación es una expresión referida al tamaño u orden relativo de dos objetos (ver también ecuación). La notación a < b significa que a es menor que b y la notación a > b quiere decir que a es mayor que b. Estas relaciones son conocidas con el nombre de inecuaciones estrictas, contrastando con a ≤ b (a es menor o igual a b) y a ≥ b (a es mayor o igual que b), llamadas inecuaciones no estrictas.
Si el signo comparativo de la inecuación es el mismo para cualquier valor que tomen las variables por las que está definida, entonces se hablará de una inecuación "absoluta" o "incondicional" (véase identidad).
Si por el contrario, el signo comparativo es el mismo sólo para ciertos valores de las variables, pero se invierte o cambia para otros valores, será una inecuación "condicional".
El signo comparativo de una inecuación no se cambia si a ambos miembros se les suma o resta el mismo número real, o si se les multiplica o divide por un número positivo; en cambio, se invierte si a ambos miembros se les multiplica o divide por un número negativo.
La notación a >> b quiere decir que a "es mucho mayor que" b. El significado de esto puede variar, refiriéndose a una diferencia entre ambos indefinida. Se usa en ecuaciones en las cuales un valor mucho mayor causará que la resolución de la ecuación arroje a luz un cierto resultado.
En matemáticas, una inecuación es una expresión referida al tamaño u orden relativo de dos objetos (ver también ecuación). La notación a < b significa que a es menor que b y la notación a > b quiere decir que a es mayor que b. Estas relaciones son conocidas con el nombre de inecuaciones estrictas, contrastando con a ≤ b (a es menor o igual a b) y a ≥ b (a es mayor o igual que b), llamadas inecuaciones no estrictas.
Si el signo comparativo de la inecuación es el mismo para cualquier valor que tomen las variables por las que está definida, entonces se hablará de una inecuación "absoluta" o "incondicional" (véase identidad).
Si por el contrario, el signo comparativo es el mismo sólo para ciertos valores de las variables, pero se invierte o cambia para otros valores, será una inecuación "condicional".
El signo comparativo de una inecuación no se cambia si a ambos miembros se les suma o resta el mismo número real, o si se les multiplica o divide por un número positivo; en cambio, se invierte si a ambos miembros se les multiplica o divide por un número negativo.
La notación a >> b quiere decir que a "es mucho mayor que" b. El significado de esto puede variar, refiriéndose a una diferencia entre ambos indefinida. Se usa en ecuaciones en las cuales un valor mucho mayor causará que la resolución de la ecuación arroje a luz un cierto resultado.
1º Aislamos el radical:
2º Elevamos al cuadrado los dos miembros:
3ºResolvemos la ecuación:
4ºComprobamos:
La inecuación tiene por solución x = 2.
Actividad interrogantes o ejercicios
Realiza los siguientes ejercicios de inecuaciones:
2) X²-5X+6
3) 1X - 1 ≤ 2X – 5
3 6 4 2
4) |2x + 4 | ≤ 8
5)x - 3 > 2
6) x + -3 + 3 > 2 + 3
7) 2x - 4
3x + 1 8) -2x
-34. Yosaida Leal C:I: 20212042
http://www.google.co.ve/search?hl=es&biw=994&bih=636&q=inecuaciones%20con%20valor%20absoluto%20wikipedia&gs_sm=c&
gs_upl=9054l9408l0l11763l2l2l0l0l0l0l330l612l2-1.
gs_upl=9054l9408l0l11763l2l2l0l0l0l0l330l612l2-1.
http://www.unizar.es/aragon_tres/unidad2/Inecuaciones/u2inecreto.pdf
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